이번 주 논제는 연세대학교가 발표한 예시문항 중 일부를 발췌한 것으로서, 고령화 사회로 진입하고 있는 우리나라의 사회현상에 대한 구체적인 통계자료를 수학적 모델링이라는 방법으로 분석하는 문제이다. 사회현상 혹은 자연현상을 분석하는데 있어서, 변화의 추이를 파악하고 미래를 예측하는 것이 핵심적인 문제가 된다. 한편, 변화하는 사물들에 대한 명쾌한 이해를 제시하고 그들 간의 대응관계를 체계적으로 분석할 수 있는 수학적 도구는 함수이다. 이번 주 논제가 독자 여러분에게 함수의 기본개념을 이용한 수학적 모델링 기법에 대한 폭 넓은 이해를 가져다 줄 것이다.
실습문제
평균연령 추이 파악을 위한 수학적 모델링(연세대 예시문항 중 발췌)
주어진 자료에 대한 함수 모형을 만들어, 이 자료를 분석하는 수리적인 과정을 제시하고, 이를 근거로 우리나라 전체 인구의 평균연령이 어떻게 변화해 왔는지, 또 어떻게 변하게 될 것인지 논술하시오.
문제해설
평균연령의 변화추이를 구하기 위해서는 먼저 평균연령을 구할 방법을 마련해야 하는데 이를 위하여 통계 기본개념중의 하나인 가평균을 이용하기로 한다. 평균을 계산하기 위해서는 각 계급을 대표하는 계급값을 중간값으로 지정해야 하는데, 이를 위해서는 65세 이상 연령층의 상한선을 정해야만 한다. 문제에서 주어진 특별한 제한조건이 없으므로 64세 이상 연령층은 그 계급범위를 0~14세 범위와 같아지도록 64~79세로 가정한다. 15~64세의 계급값 39.5를 가평균으로 하고, 연령층의 인구비율을 각각 a, b, c라 하면 평균연령은 가평균을 이용한 평균 구하는 식을 이용하여 구할 수 있다.
가평균을 이용하여 평균연령을 구해보면
평균연령=(32.5/100)×(c-a)+39.5
이 식에서 평균연령은 기울기가 0.325이고 y절편이 39.5인, (c-a)라는 변수에 대한 일차함수임을 알 수 있다. 이를 이용하여 1970년과 2050년의 평균연령을 구해보면 다음과 같다.
1970년의 평균연령: (32.5/100)×(-42.5+3.1)+39.5≒26.7
2050년의 평균연령: (32.5/100)×(-9.0+37.3)+39.5≒48.7
주어진 그래프와 표를 이용하여 (c-a)의 값을 구하고, 구한 (c-a)값을 0.325배 하고 39.5만큼 평행이동하면 아래와 같은 그래프가 얻어진다.
아래 그래프 중 오른쪽의 평균연령 그래프를 보면 우리나라의 평균연령은 꾸준히 증가해 왔으며, 그 증가율도 거의 변함없이 유지되고 있음을 알 수 있다. 또 2050년까지의 변화 추세도 오늘날과 큰 차이가 없으리라는 사실을 확인할 수 있다.
