이번 주에는 지난 2월 23일 연세대학교가 실시한 ‘2008학년도 논술고사 모의시험’ 자연계열 1번 문항 중에서 ‘구의 표면적과 체적의 관계’를 구하는 과정에 대하여 살펴보도록 하겠다. 이 문항의 전체 구성은 원기둥을 비스듬히 자른 절단면의 단면적과 둘레의 길이 사이의 관계식을 구하는 과정, 구의 표면적과 체적 사이의 관계식을 유도하는 과정을 각각 제시하고 제시된 과정의 타당성을 검토하라는 문제이다. 이 문제는 미분과 적분의 기본 개념에 대한 이해와 제시된 자료에 대한 분석능력을 요구하는 문항이었다.
논제-아래에서는 주어진 정보에 근거하여 구의 체적을 구하는 과정을 설명하고 있다. 공식을 유도하는 과정의 타당성에 관하여 논하시오.
논제 해설
평면도형의 넓이나 입체도형의 부피, 겉넓이를 계산하는 방법으로서의 ‘구분구적법’은 정적분 개념의 기초를 이룬다. 정적분을 활용하여 도형의 넓이나 부피를 구할 때 주의할 점은 ‘적분 변수’를 설정하고 그 변수가 변하는 방향에 대하여 ‘수직’인 방향의 ‘단면’을 관찰해야 한다는 점이다.
문제에서는 반지름이 r인 구에 대하여 반지름 방향을 적분 변수 x로 설정하고 반지름에 수직인 방향의 단면(즉, 구의 표면)을 관찰하고 있다. 따라서 적분 구간은 0 ≤ x ≤ r 이 된다.
이제 반지름 r을 n등분하여 이산적인 변수 x k 를
음과 같은 부등식이 성립한다.
따라서 반경이 r인 구의 표면적 S(r)을 이용하여 구의 체적 V(r)을 구하는 제시문의 논리는 타당하다. 이것으로 문제는 해결되었다.
한편, 위의 논의에서 등장한 첫번째 부등식 (*)는 곡면의 넓이와 부피에 대한 엄밀한 논의를 생략한 채 다소 ‘직관적’으로 얻은 것이지만 고교교육과정에서 이러한 직관은 허용되는 것으로 봐야 할 것이다. 이 문제는 반지름이 r인 구의 표면적 S(r)을 알고 있을 때 ‘정적분’의 개념을 활용하여 구의 체적 V(r)을 구하는 논리를 다루고 있지만, 역으로 구의 체적 V(r)을 알고 있을 때 ‘미분법(도함수)’의 개념을 활용하여 구의 표면적 S(r)을 구하는 논리 전개도 가능하다. 여러분들이 도전해 보기 바란다.
