자연계에 나타나는 식물의 잎 배열구조, 씨앗의 배치, 달팽이나 소라껍질에서 나타나는 나선형 모양 등에서 피보나치 수열 또는 피보나치 수를 발견할 수 있다. 사람들이 가장 완벽하고 아름다운 형태라고 느끼는 직사각형의 가로, 세로 비율이 황금비인데, 피보나치 수열의 이웃하는 두 항 사이의 비율이 황금비로 근사한다. 이번 논제에서는 피보나치 수열과 황금비의 관계를 밝히는 과정을 살펴본다.
[제시문] 〈가〉 이탈리아의 상인으로 피보나치, 곧 '보나치오의 아들'로서 더 잘 알려져 있는 피사의 레오나르도(1180~1550무렵)가 쓴 '산반서(Liber Abbaci)'에는 다음과 같은 문제가 실려있다.
“토끼 한 쌍이 달마다 토끼 한 쌍을 낳고, 태어난 한 쌍의 토끼는 두 번째 달부터 한 쌍의 토끼를 낳기 시작한다면 토끼 한 쌍에서 시작하는 경우 한 해 동안 몇 쌍의 토끼가 태어날까?”
모든 토끼가 죽지 않는다고 가정하고 1월에 1쌍이 토끼로 시작하여 토끼 쌍이 늘어나는 상황을 표로 나타내어보면 과 같다. 전체 토끼 쌍은 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, … 로 된다. 이 때 이 수열을 피보나치 수열이라고 하고, 각 항을 피보나치 수라고 한다.
한 변의 길이가 피보나치 수 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …인 정사각형을 그린 다음 각 정사각형에 사분원을 그린 후 이들을 연결하면 와 같은 나선모양이 나타난다. 이 나선 모양을 로그나선이라고 하며, 이 나선 모양은 앵무조개나 소라껍데기 등 많은 자연물에서 발견된다.
피보나치 수열 {An}을 귀납적으로 정의하면 An+₂ = An+₁ + An (단 n=1, 2, 3,…)이다
〈나〉 황금비는 선분의 분할로 정의할 수 있는데, '전체 길이:긴 길이=긴 길이:짧은 길이'를 만족하는 분할의 비를 말한다. 황금비는 무리수 (√5 +1)/2로 나타나는데, 소수로 표현하여 보면 약 1.618이 된다. 직사각형의 경우 가로와 세로의 길이의 비가 황금비를 이룰 때, 가장 안정감있고 균형있는 아름다운 직사각형으로 사람들이 느낀다.
[논제] 제시문 〈가〉의 피보나치 수를 이용한 직사각형에서 가로, 세로 길이의 비율이 제시문 〈나〉의 황금비율로 근사한다. 이를 설명하시오.
[해설] 짧은 길이가 1, 긴 길이가 x (x 〉1)인 전체길이 1+x 인 선분에 대하여 (1+x): x= x : 1…① 가 성립할 때, 짧은 길이와 긴 길이의 비율인 x 가 황금비율이다.
①식에 의해 x²= 1+x …② 이며, 이차방정식 근의 공식에 의해 x 값을 구해보면 황금비인 (√5 +1)/2를 구할 수 있다.
한편 제시문 (가)에 나타난 직사각형의 세로의 길이를 An+1, 가로의 길이는 An+2라 하면, 가로의 길이 An+₂는 An+₁+ An이다. 직사각형의 가로, 세로 길이의 비율은 피보나치 수열의 이웃한 두 항 사이의 비율이다. 피보나치 수열의 점화식 a+2 = an+1+an 에서 식의 양 변을 an+1로 나누어 보면 수열이라 하면 이다.
의 그래프에서 보여지듯이 극한값은 와 의 교점의 x 좌표로 수렴한다. 이라 하면 에 의해 이며, 양 변에 x 를 곱하면 x²= 1+x 이다. 이 방정식은 황금비를 구하는 방정식 ②와 동일하므로 x 의 값 또한 같다.
따라서 피보나치 수열을 이용한 직사각형의 가로, 세로 길이의 비는 황금비로 수렴한다.
