>> 연세대 자연계 모의논술 해설
이번 주의 주제는 미분과 적분을 활용한 자료분석 연습이다. 지난 2월 23일 출제된 연세대 ‘2008학년도 모의논술고사’ 자연계열 1번 문항을 분석해 보도록 하겠다. 이 문항은 원기둥을 비스듬하게 자른 절단면의 단면적과 둘레의 길이, 구의 단면적과 부피의 관계식을 유도하는 두 과정을 자료로 제시하고 제시된 과정의 타당성을 검토하라는 문제로써 미분과 적분의 기본 개념에 대한 이해력과 제시된 자료에 대한 분석력을 요구하는 문항이었다. 지면 관계상 1번 문항의 일부를 발췌하여 다루도록 하겠다.
※ 아래에서는 주어진 정보에 근거하여 단면의 길이와 체적을 구하는 과정을 설명하고 있다. 공식을 유도하는 과정의 타당성에 관하여 논하시오.
(단면의 면적 A(r)을 이용, 단면의 길이 L(r)을 구하는 논리) 반경이 r인 원기둥을 45˚각도로 잘라서 생성되는 단면의 면적을 A(r), 둘레 길이를 L(r)이라고 하자. r의 함수로 단면의 면적 A(r)을 알고 있을 때, 이를 이용하여 단면의 둘레 길이 L(r)을 구하고자 한다. 반경이 각각 r, r+h(h〉0)인 원기둥을 45˚각도로 자른 단면의 면적은 A(r), A(r+h)이다.
큰 단면에서 작은 단면을 제거하면 가느다란 띠가 생성되는데, 이 띠의 면적은 이 두 단면의 면적의 차이 A(r+h)-A(r)이다. 이 띠를 풀면 직사각형으로 근사할 수 있고, 이 직사각형은 밑변의 길이는 우리가 구하고자 하는 단면의 길이 L(r)이고 높이는 h이다.
〈그림1〉의 근사는 h가 작아질수록 정교하여지므로, 위 식에서 h를 0으로 보내는 극한을 취하면 등식이 성립한다. 즉, 〈그림2〉이다.
문제 해설 와 같이 밑면의 반지름이 각각 r, r+h인 두 원기둥의 밑면의 중심을 일치시켜 놓고 45˚각도로 자른 단면을 생각해 보자. 두 원기둥 사이, 즉 '원기둥 껍질' 부분이 비스듬히 잘린 단면의 모양은 그림에서 색칠한 부분과 같다. 이 단면의 모양은 여러분이 즐겨먹는 '속이 빈 원통형 어묵'을 비스듬히 자른 단면이나 '대나무를 비스듬히 잘라서 만든 죽창'의 단면을 닮았다. 이 '단면의 수직 위'에서 단면을 내려다 보았을 때의 모양은 아래 오른쪽 그림과 같이 '서로 닮음이면서 중심이 같은 두 타원 사이의 영역'이 됨을 알 수 있다.
이 띠 모양의 도형을 펼치는 것은 '서로 닮음이면서 중심이 같은 두 원 사이의 영역'을 펼치는 경우와 다르다. 이 경우에는 반지름 방향의 띠의 '두께'가 일정하기 때문에 반지름 방향으로 잘게 나누어서 하나 건너 하나씩 위아래 방향을 뒤집어서(180˚회전하여) 이어 붙이면 그 넓이를 직사각형에 근사시킬 수 있다(이 방법은 초등학생 때 시절에 원의 넓이를 이해했던 방법이자 고대 그리스인들이 원의 넓이를 계산한 방법이기도 하다).
그러나 위의 그림에서처럼 ‘서로 닮음이면서 중심이 같은 두 타원 사이의 영역’을 펼치는 경우는 중심에서 가장 자리 쪽을 향하는 방향의 띠의 두께가 일정하지 않고 〈그림5〉에서 h사이를 두 번 왕복하는 모양을 하고 있다. 따라서 이 띠를 위의 오른쪽 그림과 같이 일정한 중심각으로 잘라서 하나 건너 하나씩 상하를 뒤집어서(180˚도 회전하여) 이어 붙이면 그 높이가 일정한 값을 갖지 못하고 〈그림6〉과 같은 모양의 도형이 된다.
이 도형의 넓이를 제시문에서 설명하는 것처럼 타원의 둘레 L(r)을 밑변으로 하고 높이가 h인 직사각형의 면적으로 근사시킬 수 없다. 따라서 제시된 과정은 근사 직사각형의 높이를 h로 볼 수 있다고 한 부분에서 오류를 범하였다. 따라서 마지막에 유도된 공식은 타당하지 않다.
