요한이는 군인인 외삼촌의 모자와 어깨에 달린 마름모 계급장을 보고 멋있다고 생각했습니다. 요한이는 삼촌의 모자를 써 보았습니다. 이를 지켜 보던 정민이가 마름모 계급장의 넓이를 계산하고 싶었습니다.
정민이는 이미 공부해서 알고 있는 직사각형의 넓이, 평행사변형의 넓이, 삼각형의 넓이, 사다리꼴의 넓이를 이용, 계산하는 방법을 궁리했습니다.
정민이는 넓이가 같은 두 삼각형 (가)와 (나)로 나누었습니다. 그런데 삼각형 (가)에서 밑변은 한 대각선이고, 높이는 다른 대각선의 반과 같으므로 삼각형 (가)의 넓이는 (한 대각선의 길이)×(다른 대각선의 길이의 반)÷2입니다. 그런데 두 삼각형 (가)와 (나)의 넓이가 같으므로 마름모의 넓이는 다음과 같이 계산합니다.
(마름모의 넓이)=[삼각형 (가)의 넓이]×2
=[(한 대각선의 길이)×(다른 대각선의 길이)÷2]×2
요한이는 좀 더 좋은 방법이 있을 것이라고 믿고 다른 계산 방법을 찾아보았습니다. 요한이는 마름모를 넷으로 나누고, 각각을 마름모의 네 변의 밖에 이어 붙이면 하나의 직사각형이 될 것이라고 생각했습니다.
요한이는 마름모를 (가), (나), (다), (라)로 나누었습니다. 그리고 각각을 위의 그림과 같이 변의 밖에 이어 붙였더니 커다란 직사각형이 되었습니다. 직사각형에서 가로는 한 대각선의 길이와 같고, 높이는 다른 대각선의 길이와 같으므로 직사각형의 넓이는 (한 대각선의 길이)×(다른 대각선의 길이)이다. 그런데 마름모의 넓이는 직사각형 넓이의 반이므로 마름모의 넓이는 다음과 같이 계산합니다.
(마름모의 넓이)=(직사각형의 넓이의 반)
=(한 대각선의 길이)×(다른 대각선의 길이)÷2
정민이는 마름모는 네 변의 길이가 같아 마주 보는 변은 각각 평행사변형이므로 모름모는 평행사변형이 될 수 있다는 것을 알았습니다.
평행사변형의 넓이는 '한 변의 길이'를 '밑변'으로 하고, '높이'는 '한 변의 길이에서 수직인 선분'을 이용할 수 있습니다. 그러므로 마름모의 넓이는 다음과 같이 계산합니다.
(마름모의 넓이)=(평행사변형의 넓이)
=(한 변의 길이)×(높이)
정민이와 요한이는 그들이 찾은 마름모의 넓이 계산 방법 3가지를 선생님에게 다시 말씀 드렸습니다.
[방법 1 : 두 삼각형 (가)와 (나)로 나누는 방법]
(마름모의 넓이)=[(한 대각선의 길이)×(다른 대각선의 길이)÷2]×2
[방법 2 : 마름모를 넷으로 나누어 이어 붙여 직사각형으로 만드는 방법]
(마름모의 넓이)=(한 대각선의 길이)×(다른 대각선의 길이)÷2
[방법 3 : 마름모를 평행사변형으로 보고 계산하는 방법]
(마름모의 넓이)=(한 변의 길이)×(높이)
선생님께서는 이들의 아이디어를 칭찬하며 "3가지 계산 방법 중에서 방법 2는 두 대각선의 길이를 재는데 편리하고, 방법 3은 계산이 편리하다. 그러므로 마름모의 넓이를 계산하는 공식은 방법 2와 3이 좋다."고 말했습니다.
(마름모의 넓이)=(한 변의 길이)×(다른 대각선의 길이)÷2
(마름모의 넓이)=(한 변의 길이)×(높이)
/서울교육대학 수학교육과 배종수 교수
